Умозаключения
I. Умозаключения.
1. Понятие «умозаключения».
2. Виды умозаключений:
а) дедуктивное,
б) неполная индукция,
в) аналогия.
II. Схемы дедуктивных умозаключений.
III. Способы математического доказательства.
1. Понятие доказательства.
2. Основные законы построения дедуктивных умозаключений.
3. Виды доказательств:
а) прямое,
б) косвенное,
в) полная индукция.
В математике знания чаще получают в процессе рассуждений. Для того, чтобы знание было истинным, рассуждение должно строится в соответствии с правилами, лежащими в основе логики. Считают, что рассуждения используют при доказательствах. Для обучения учащихся учитель должен владеть глубокими знаниями построения верных рассуждений, о структуре и способах доказательств.
В логике понятие рассуждения заменяется словом «умозаключение».
Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, выводится высказывание, содержащее новое знание, называемое заключением.
Рассмотрим образцы умозаключений, используемых в начальном курсе математики:
1) При выполнении устных вычислительных приемов с числами учащиеся применяют различные математические понятия, в том числе и понятия, связанные с десятичной системой счисления, которой мы пользуемся в современной математике. Например, в случае 42 + 6 учащиеся должны владеть разрядным составом двузначного числа. Объясняя способ вычисления, дети говорят: «Число 42 – двузначное. Все двузначные числа можно представить в виде суммы двух разрядных слагаемых – десятков и единиц. Следовательно, 42 = 40 + 2».
Это умозаключение состоит из трех предложений. Первое и второе предложение – посылки:
1-ое предложение – частная посылка, она дает характеристику числу 42;
2-ое предложение – посылка общего характера, которая указывает на особенность двузначных чисел – состоят из двух разрядов (десятков, единиц).
3-е предложение является заключением, оно формулируется после слова «следовательно», и также носит частный характер, т.к. в нем идет речь о конкретном числе – 42.
2) При ознакомлении учащихся с переместительным (коммутативным) свойством умножения создается проблемная ситуация, в процессе разрешения которой учащиеся самостоятельно формулируют свойство:
На сколько квадратов разделен каждый прямоугольник? Посчитай разными способами. Объясни свои действия.
Учащиеся с помощью системы вопросов учителя предлагают по два способа вычисления к каждому из рисунков:
4 × 3 = 3 × 4 9 × 3 = 3 × 9.
Затем учащиеся делают вывод: для всех натуральных чисел верно равенство
а × в = в × а.
В данном умозаключении посылками являются два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется переместительное свойство. Заключением же в этом случае является утверждение общего характера – от перестановки множителей значение произведения не изменяется.
3) При ознакомлении младших школьников со случаями деления на однозначное число, дети должны уяснить, что деление связано с умножением. А следовательно, чтобы найти значение выражения, например 56 : 7, нужно знать табличные случаи умножения числа 7. На какое число нужно умножить 7, чтобы получить 56 – делимое:
«Мы знаем, что 7 × 8 = 56. Если произведение разделить на один из множителей, получится другой множитель. Следовательно, 56 : 7 = 8».
Таким же образом, учащиеся рассуждают, находя результат в случаях 27 : 9, 36 : 6 и т.д.
Рассмотрев эти случаи, мы видим, что умозаключения бывают разными. В логике рассмотренные нами называют дедуктивными.
Дедуктивными называют умозаключения, в которых посылки и заключения находятся в отношении логического следования.
Посылки дедуктивного следования обозначают так –
